趣味数学之裂项
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2023-02-19 13:29:23
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学习·文化课
前言
这篇可以说对读者的数学水平要求非常低了……
写的比较仓促，可能会有笔误，请私信我或者在评论区指出。
今天我们的主题是：
裂项
啥？裂象？？
e……听错了，是这个项！
这名字有点奇怪哈……
裂项可以说是简便计算中的巅峰了，会了它你就无敌了。
首先讲：
分数裂项
啥？又裂象？？
大象真可怜
不知大家在做分数计算的时候有没有注意到这个现象：
而 $6$ 正好等于 $2 \times 3$。
起初我对这个现象很好奇，但总觉得它不是任何式子通用的。
学了分数裂项我才知道，有个公式叫：
$\displaystyle \frac{b-a}{a \times b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$！$(b>a)
它确实通用，并且这就是分数裂项中的裂差。
这里有个要领总结叫做：母鸡积子差（今天谐音梗可真不少），意思就是结果的分母是原来分母的积，结果的分子是原来分母的差。
为什么呢？我们按正常思维计算 \displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{b}：
\displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{a \times b}-\frac{a}{a \times b}=\frac{b-a}{a \times b}
其实也是很好理解的。
但注意，即使是 \displaystyle \frac{3}{7 \times 4}，裂项之后分子也是 1 ，而不会是 3。
不信试试\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{7}。
而你可能又有问题了：裂项之后不是更复杂吗，那怎么叫简便运算呢？
（真是没见识）
那你先算一个试试啊：
\displaystyle \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{4 \times 5}
&=\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}
\end{aligned}
现在还说得出来“不是更复杂吗”吗？
全抵消了！！！
裂项的用处就在这了，只有裂开才有机会抵消，只有抵消才简便啊！
接着，你以为只有差有这个规律？
错了，和也有！
裂和
也很好理解，请自己尝试证明。
\displaystyle \frac{a+b}{a \times b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
这个叫“母鸡积子和”。不解释了。
那裂和怎么应用呢？
注意，这次全加不行了：
\displaystyle \frac{3}{1 \times 2}-\frac{5}{2 \times 3}+\frac{7}{3 \times 4}-\frac{9}{4 \times 5}
=\displaystyle 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}
一加一减才容易抵消嘛。请自己继续计算。
接着也是重要的：介绍几个裂项常用技巧。
1.调整倍数
\displaystyle \frac{3}{1 \times 2}+\frac{3}{2 \times 3}+\frac{3}{3 \times 4}+\frac{3}{4 \times 5}
你想要分子是几？而现在分子是几？怎么办呢？
我们要把分子从 3 调成 1。
其实也很容易，把整体乘上 \displaystyle \frac{1}{3} 然后裂项，最后再乘回去就行了！
=3 \times (\displaystyle \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{4 \times 5})
现在会了吧？
2.进行化带、展开等使得可裂项
\displaystyle \frac{2^2+1}{2^2-1}+\frac{4^2+1}{4^2-1}+\frac{6^2+1}{6^2-1}+…+\frac{20^2+1}{20^2-1}
第一眼看到这题，你们的反应可能是：
和裂项有关系吗？？
有！就是不容易看出来。
我们要把分母转换成一个数乘另一个数的形式，而现在我们看到分母是一个平方数减 1。其实 1 也等于 1^2。
（对于初中生来说这是废话）
有没有想到什么？对了，平方差公式！
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
这就转换成了。
= \displaystyle \frac{2^2+1}{(2+1) \times (2-1)}+\frac{4^2+1}{(4+1) \times (4-1)}+\frac{6^2+1}{(6+1) \times (6-1)}+…+\frac{20^2+1}{(20+1) \times (20-1)}
= \displaystyle \frac{2^2+1}{3 \times 1}+\frac{4^2+1}{5 \times 3}+\frac{6^2+1}{7 \times 5}+…+\frac{20^2+1}{21 \times 19}
（抱歉我不会做等号对齐）
那你们又问了：分母是挺好，那分子又是个什么鬼？？！！
说的并非无道理，所以我们再搞啊。
我们发现分子需要是 2，而你细心一点会发现每项分母分子的差也是 2（1+1），所以我们可以再把这些大于 1 的分数都化成带分数（\displaystyle 1+\frac{2}{1 \times 3}），再把 1 统一提出来：
= \displaystyle \frac{2}{3 \times 1}+\frac{2}{5 \times 3}+\frac{2}{7 \times 5}+…+\frac{2}{21 \times 19}+1 \times 10
别告诉我你还不会！！
= \displaystyle 1-\frac{1}{21}+10
然后算。
重点就在于找到突破口先整理分母（如用公式），再找出分母和分子的规律，然后化成带分数，把整数部分放到一起，最多再调调倍数，就能裂项了。
大家可以再试试这个。
\displaystyle \frac{2 \times 3}{1 \times 4}+\frac{5 \times 6}{4 \times 7}+\frac{8 \times 9}{7 \times 10}+…+\frac{98 \times 99}{97 \times 100}=\text{\_\_\_\_\_\_\_\_}
我们继续，再继续讲技巧前，我们先插播一个知识点：
分母因数 >2 时怎么裂项
\displaystyle \frac{2}{1 \times 2 \times 3}+\frac{2}{2 \times 3 \times 4}+\frac{2}{3 \times 4 \times 5}+\frac{2}{4 \times 5 \times 6}
看着好像裂项啊，但分母有点奇怪啊？
先别急，看这个：
\displaystyle \frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{2 \times 3}=\displaystyle \frac{3}{1 \times 2 \times 3}-\frac{1}{1 \times 2 \times 3}=\frac{2}{1 \times 2 \times 3}
跟分数裂项很像。
换成字母也一样：
\displaystyle \frac{1}{a \times b}-\frac{1}{b \times c}=\displaystyle \frac{c}{a \times b \times c}-\frac{a}{a \times b \times c}=\frac{c-a}{a \times b \times c}(c > a)
\displaystyle \frac{c-a}{a \times b \times c}=\frac{1}{a \times b}-\frac{1}{b \times c}(c > a)
这就是多项时的分数裂项。
注意，分子是头减尾。
其实，这样的裂和甚至分母有更多项的裂项也差不多。
前面的技巧也是通用的。
然后继续讲技巧。
1.拆单个分数变多个式子
\displaystyle \frac{4}{1 \times 2 \times 3}+\frac{5}{2 \times 3 \times 4}+\frac{6}{3 \times 4 \times 5}+…+\frac{12}{9 \times 10 \times 11}
看着是裂项啊，但这分子是啥啊？！
观察也发现分子是分母的延续，但也没用啊。
调倍数？怎么调？也调不了啊，分子不一样。
有人可能说了：拆出一个分母是 2 的分数数列不就能裂项了？
恭喜你，这说明你学会了，不过还要细致一点。
按这样的思路，拆完之后剩下的是：
\displaystyle \frac{2}{1 \times 2 \times 3}+\frac{3}{2 \times 3 \times 4}+\frac{4}{3 \times 4 \times 5}+…+\frac{10}{9 \times 10 \times 11}
这怎么算？？
其实结合一下调倍数，拆成这样：
=\displaystyle (\frac{3}{1 \times 2 \times 3}+\frac{4}{2 \times 3 \times 4}+\frac{5}{3 \times 4 \times 5}+…+\frac{11}{9 \times 10 \times 11})+(\frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3 \times 4}+\frac{1}{3 \times 4 \times 5}+…+\frac{1}{9 \times 10 \times 11})
拆出去 1 之后调倍数、化简：
=\displaystyle (\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+…+\frac{1}{9 \times 10})+(\frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3 \times 4}+\frac{1}{3 \times 4 \times 5}+…+\frac{1}{9 \times 10 \times 11}) \times \frac{1}{2}
（电脑实在是快卡死了）
两个裂项！分别裂就行！
这就是拆分的思路，拆开之后能帮我们构成多个可裂项式。
看到这里，分数裂项就接近尾声了，让我们看一看最后一道题：
\displaystyle \frac{1}{1 \times 2 \times 4 \times 5} + \frac{1}{3 \times 4 \times 6 \times 7} + \frac{1}{5 \times 6 \times 8 \times 9}+ … + \frac{1}{23 \times 24 \times 26 \times 27}
先看题，首先，分母缺一个是不是有点……别扭？
于是，直接补上中间数，也方便裂项，这是直观思路：
=\displaystyle \frac{3}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} + \frac{5}{3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7} + \frac{7}{5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9}+ … + \frac{25}{23 \times 24 \times 25 \times 26 \times 27}
然后呢？分母是中间数，其实还有这个规律：
头+尾=中间数\times2
试着调一调倍数吧，然后就能裂和，裂和后就是一个普通裂差！现在理解为什么要分母隔一个写一个了吗？
其实这题还考计算功底，往后计算非常复杂
到此，就要和分数裂项暂时说再见了 （巴不得呢太南了……），接下来进入新的版块：
整数裂项！！
啥？？叒裂象？？？
大象：听我说谢谢你
哈哈哈，分数裂完整数来接班啦！
但别看长得像，还是有区别的。
2 \times 3+3 \times 4+4 \times 5+…+19 \times 20
能看出来裂项，不过……
《分子离家出走》
只剩分母了，这怎么裂啊？？！！
别急，先来看这个铺垫。
2 \times 3
有人可能说了：不是，这也叫铺垫？！纯纯练乘法口诀，熟的不能再熟了！！
可是为什么不能算复杂一点呢？？
闲的
比如这样：
2 \times 3=(2 \times 3 \times 4-1 \times 2 \times 3) \div 3
能理解吧，多了 4-1=3 个 2 \times 3，所以最后除以 3。
于是有人就突然领悟了：原来如此！和分数裂项差不多原理，把每项拆开之后就是：
=(2 \times 3 \times 4-1 \times 2 \times 3) \div 3+(3 \times 4 \times 5-2 \times 3 \times 4) \div 3+(4 \times 5 \times 6-3 \times 4 \times 5) \div 3+…+(19 \times 20 \times 21-18 \times 19 \times 20) \div 3
=(2 \times 3 \times 4-1 \times 2 \times 3+3 \times 4 \times 5-2 \times 3 \times 4+4 \times 5 \times 6-3 \times 4 \times 5+…+19 \times 20 \times 21-18 \times 19 \times 20) \div 3
恭喜你，对了！！
=(18 \times 19 \times 20-2 \times 3 \times 4) \div 3
又是这抵消的壮观场面啊！恭喜大家很快领悟了关键！
由此，就有了一个顺口溜帮忙记住关键点：
尾的尾减头的头除以单项尾头差
大概能理解：最后一项往后乘一个减去第一项往前乘一个，再除以一项里往后乘与往前乘的差。虽然有些绕，但很重要。
大家应该也注意到了，整数裂项不分裂和裂差。
继续变个式！
2 \times 4+4 \times 6+6 \times 8+…+18 \times 20
应该也会吧，就是 0 \times 2 \times 4 结果是 0，就等于不用减它。
变式\times 3：
1 \times 4+4 \times 7+7 \times 10+…+22 \times 25
这……1-3 不成负数了？！
对，但只要你的数学基础足够，算负数也很简单。
如果你确实不会，那么就先把后面的裂项，再加上第一个也行。毕竟 1 \times 4 也很好算。
如果这样呢：
1 \times 3 \times 5+3 \times 5 \times 7+…+15 \times 17 \times 19
似乎……一样？
是的！
=[15 \times 17 \times 19\times21 - (-1) \times 1 \times 3 \times 5] \div 6
这个地方知识点不多，马上讲变形。
1.结合和差
2 \times 3+4 \times 5+6 \times 7+…+48 \times 49
这……怎么跳着写呢？！正好接不上！！
应该容易想到：把它变成裂项！
=(2 \times 3+3 \times 4+4 \times 5+5 \times 6+6 \times 7+…+48 \times 49)-(3 \times 4+5 \times 6+…+47 \times 48)
然后，然后后者还是没法算……
其实，既然有这样的思路，那么可以把原式设为 A，3 \times 4+5 \times 6+…+47 \times 48 设为 B，我们知道它们的和，想知道两个数就还要知道差。差能算吗？
能！
2 \times 3+4 \times 5+6 \times 7+…+48 \times 49-3 \times 4-5 \times 6-…-47 \times 48
=2 \times 3+(4 \times 5-3 \times 4)+(6 \times 7-5 \times 6)+…+(48 \times 49-47 \times 48)
=6+[(5-3) \times 4]+[(7-5) \times 6]+…+[(49-47) \times 48]
=6+2 \times (4+6+…+48)
这不就行了吗？往后自己算吧。
好了好了，大家要和这短促相遇的整数裂项也说再见了！这里的知识点还是挺少的。
也不是完全说再见，因为……
高能预警
进入了一个和前两者都有联系的重要板块，它就是：
通项归纳
通象归拿？？又是通象？？？
大象：来我家喝茶吧，菜刀已经准备好了
行啊，真能玩谐音梗……
所以呢，大家也多多少少听说过这个词吧？
通项归纳，就是找式子中项数 n 和第 n 项数值之间的关系，然后写出这个关系式，即为通项公式。
就像这样：1,4,9,16,...，则第 n 项是 ____。
容易看出，答案是 n^2。
通俗一点来说，其实就是找规律，不过比较难而已。
有人可能说了：难？难在哪啊？？和普通的找规律没有区别！
不一定哦，因为含有字母的式子经常要化简。
这个难了吧？相信大家能看出来：
$1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
...
所以呢，应该有人是这么填的吧：
1+2+...+n
你化简了吗？
化简，化简，化简，重要的事情说三遍
用高斯公式：
=\displaystyle \frac{n \times (n + 1)}{2}
这才对嘛。
练一练吧：
答案：$\color{white}{2^{n-1}}$（可以刮开看看）
好吧，我们再来几个分数的：
$\displaystyle \frac{5}{6},\frac{8}{12},\frac{11}{20},\frac{14}{30},…$，则第 $n$ 项是________。
我们分开看分子分母，发现分子是公差为 $3$ 的等差数列，第 $n$ 项为 $5+3(n-1)$。分母很好看，和裂项差不多，所以答案是 $\displaystyle \frac{5+3(n-1)}{(n+1)(n+2)}$。
然后，就是一个问题：我为什么要讲着讲着裂项就涉及这个主题呢？继续往下看，你就懂了。
## 结合通项归纳的裂项
$\displaystyle (1+\frac{1}{2}) \times 1,(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}) \times (1+2),(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) \times (1+2+3),...$，则第 $n$ 项是 ________。
我们很容易得出通项公式为 $\displaystyle (\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}) \times (1+...+n)$，但是要化简！
$\displaystyle (\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}) \times (1+...+n)
=\displaystyle \frac{2n+1}{n \times (n+1)} \times \frac{n \times (n+1)}{2}
抵消了！
=\displaystyle \frac{2n+1}{2}
甚至再变一下：
=\displaystyle n+\frac{1}{2}
和原式比起来，不给你过程，你简直就认不出来他俩是一样的，一个天上一个地下！
所以发现通项归纳的好处了吗？如果我现在让你求这个：
\displaystyle (1+\frac{1}{2}) \times 1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}) \times (1+2)+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) \times (1+2+3)+...+(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}) \times (1+2+3+...+50)
你就能利用通项归纳把它变成：
=\displaystyle 1+2+3+...+50+50 \times \frac{1}{2}
就很好算了！
现在明白通项归纳对于这些简便运算方法的重要作用了吗？
接下来，我们通过一道分数裂项例题和一道整数裂项例题来进一步熟练通项归纳的应用。
1.通项+分数裂项
\displaystyle \frac{2^2}{1+2}+\frac{3^2}{(1+2) \times (1+2+3)}+\frac{4^2}{(1+2+3) \times (1+2+3+4)}+...+\frac{2019^2}{(1+2+3+...+2018) \times (1+2+3+...+2019)}
乍一看，好可怕啊……
不过再仔细看看，你就笑了：这不是分数裂项吗？
是的，但分子上多了个平方！这时就不能硬变了，最好的方法还是刚才讲的通项归纳！
第 n 项等于：
\displaystyle \frac{(n+1)^2}{(1+...+n)[1+...+n+(n+1)]}
等差数列求和：
=\displaystyle \frac{(n+1)^2}{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\times \frac{1}{2}(n+1)(n+2)}
抵消、移项，最终得：
=\displaystyle \frac{4}{n(n+2)}
代入通项公式，原式等于：
\displaystyle (\frac{2}{1 \times 3}+\frac{2}{2 \times 4}+...+\frac{2}{2018 \times 2020}) \times \frac{1}{2}
裂项进行计算，最终等于 \displaystyle 2 \frac{2035151}{2039190}。
2.通项+整数裂项
前言：这是整篇文章最后一道例题，也是一道会大量损耗脑细胞的题，做好准备！
求出 5 \times 3 \times 1+8 \times 9 \times 2+11 \times 27 \times 6+...+302 \times 3^{100} \times 100!，用式子表示即可。
这题一看裂不出项，开始通项归纳，第 n 项等于：
(3n+2) \times 3^n \times n!
然后……然后……然后通项归纳就失灵了，这没法化简！
其实不是哈，主要是要用好通项归纳，需要你有比较强的应变能力，会结合如何使题目更简便做一些标准上不属于化简的事情，有时候反而能打开一条路，让式子简便，也经常能起到优化计算量的作用，就像上题，裂项的最后一步把两个 \displaystyle \times \frac{1}{2} 移到分子上也是这个作用，不然怎么裂项呢？？
回到此题，我们发现 3n+2 这一项如果加上一就能拆开，说不定可以简便，所以继续“变向化简”：
=(3n+3) \times 3^n \times n!-3^n \times n!
=3 \times (n+1) \times 3^n \times n!-3^n \times n!
这下，好处就很明显了：把 3 和 n+1 分别乘给 3^n 和 n!，就变成：
=3^{n+1} \times (n+1)! - 3^n \times n!
直白来说，就是后一项减去前一项，只不过不带第一个因数。
于是，读者们就由上面这句话，联想到了裂项！其实这也算是裂项的一种变形，也就是通项归纳经过合理运用，也可以创造裂项。
代回原式裂项，最终得到一个很简便的式子：
3^{101} \times 101! - 3
这就是答案了。如果你感兴趣，可以编个程序算一算准确结果。
到这里，此篇文章就结束了，我也很荣幸你能把这篇关于裂项的文章看到底，是不是收获满满？如果还意犹未尽，就在我的博客看一看别的趣味数学系列文章吧。再见！